Etude de courbes - exercices

Exerce-toi sur l'étude des courbes et la cubique d'Agnesi.


Publié le 02/11/2023 • Modifié le 03/11/2023

Temps de lecture : 1 min.

Écrit par Joséphine Aubin

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Exercice 1

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Dans le repère ci-dessus, on donne les points suivants : A(2;0), B(4;0), O(0;0).

  • A est le centre du cercle 𝕮 de rayon AB 
  • C ∈ 𝕮, E a la même ordonnée que C
  • F ∈ (OE) et a la même abscisse que C
  • (BE) est la droite d’équation x = 4 

Quand C parcourt 𝕮, F parcourt 𝖁.
On note (xC;yC) les coordonnées de C, où xC et yC sont des réels.

  1. Déterminer une équation de 𝕮.
  2. Déterminer les coordonnées (xE;yE) de E en fonction des coordonnées de C.
  3. Déterminer une équation de (OE).
  4. Déterminer les coordonnées (xF ;yF) de F.
  5. En déduire qu’une équation de 𝖁 est 16y2 = x2(4x - x2).

Exercice 2

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Sur la figure ci-dessus :

  • Г est le cercle de centre O, de rayon 4
  • [AC] est un diamètre de Г
  • B ∈ [AC].
  • D ∈ Г
  • (BD) (AC)
  • (FC) est tangente à Г en C
  • M ∈ (BD)
  • (FM)  (BD)
  • Δ est la sorcière d’Agnesi correspondant au parcours du point M obtenu quand D parcourt Г.

Déterminer une équation de Δ (on suppose y≠ 0).

Exercice 3

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Dans un repère orthonormé, une ellipse de centre C(x0;y0), dont un des axes est parallèle à un axe du repère a une équation de la forme ((x - x0)2/a2) + ((y - y0)2/b2) = 1.
a est la longueur du demi grand axe de l’ellipse et b la longueur du demi petit axe de l’ellipse.
Considérons la courbe 𝓔 d’équation x2 + 4y2 - 2x - 24y + 21 = 0.

  1. Montrer que 𝓔 est une ellipse. Déterminer les coordonnées de son centre et de son foyer.
  2. Déterminer le point I de l’ellipse d’abscisse -1 d’ordonnée supérieure à 3.
  3. Montrer que y = 3 + 1/2√(-x2 + 2x + 15) est une équation de la demi-ellipse, ensemble des points de 𝓔 dont l’ordonnée est supérieure à 3.
  4. Déterminer une équation de la tangente à cette demi-ellipse au point I.

 


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