Etude de courbes - exercices

Exercice 1

Dans le repère ci-dessus, on donne les points suivants : A(2;0), B(4;0), O(0;0).

• A est le centre du cercle 𝕮 de rayon AB 
• C ∈ 𝕮, E a la même ordonnée que C
• F ∈ (OE) et a la même abscisse que C
• (BE) est la droite d’équation x = 4 

Quand C parcourt 𝕮, F parcourt 𝖁.
On note (x_C;y_C) les coordonnées de C, où x_C et y_C sont des réels.

1. Déterminer une équation de 𝕮.
2. Déterminer les coordonnées (x_E;y_E) de E en fonction des coordonnées de C.
3. Déterminer une équation de (OE).
4. Déterminer les coordonnées (x_F ;y_F) de F.
5. En déduire qu’une équation de 𝖁 est 16y² = x²(4x - x²).

Exercice 2

Sur la figure ci-dessus :

• Г est le cercle de centre O, de rayon 4
• [AC] est un diamètre de Г
• B ∈ [AC].
• D ∈ Г
• (BD) ⟘ (AC)
• (FC) est tangente à Г en C
• M ∈ (BD)
• (FM) ⟘ (BD)
• Δ est la sorcière d’Agnesi correspondant au parcours du point M obtenu quand D parcourt Г.

Déterminer une équation de Δ (on suppose y≠ 0).

Exercice 3

Dans un repère orthonormé, une ellipse de centre C(x₀;y₀), dont un des axes est parallèle à un axe du repère a une équation de la forme ((x - x₀)²/a²) + ((y - y₀)²/b²) = 1.
a est la longueur du demi grand axe de l’ellipse et b la longueur du demi petit axe de l’ellipse.
Considérons la courbe 𝓔 d’équation x² + 4y² - 2x - 24y + 21 = 0.

1. Montrer que 𝓔 est une ellipse. Déterminer les coordonnées de son centre et de son foyer.
2. Déterminer le point I de l’ellipse d’abscisse -1 d’ordonnée supérieure à 3.
3. Montrer que y = 3 + 1/2√(-x² + 2x + 15) est une équation de la demi-ellipse, ensemble des points de 𝓔 dont l’ordonnée est supérieure à 3.
4. Déterminer une équation de la tangente à cette demi-ellipse au point I.

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