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Les limites
Les cours Lumni - LycéeDans ce cours, le professeur de mathématiques, Stéphane, aborde la notion de limite. Sa définition fait suite à des problèmes que se sont posés de nombreux mathématiciens.
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Introduction historique et définition
Le cours présente quelques-uns de ces mathématiciens et les calculs qu’ils ont entrepris : l’aire sous une parabole pour Archimède au IIIe siècle avant J.-C., le volume d’un cylindre pour Liu-Hui au IIIe siècle et le volume d’un paraboloïde pour Ibn al Haytham au XIe siècle. Ces problèmes nécessitaient un calcul à l’infini que des problèmes de la physique, comme la chute des corps ou les orbites des planètes allaient développer à nouveau au XVIIe siècle. Cependant Leibniz et Newton en ont deux visions et deux pratiques différentes. La mise au point de la notion de limite était nécessaire et sera faite par une définition précise que Cauchy donnera au XIXe siècle dans son cours d’analyse.
Avant de donner une définition, trois questions flash posent le problème du comportement à l’infini d’une suite ou d’une fonction, avec des questions de plus en plus formalisées.
La définition de la limite infinie et finie d’une suite est donnée avec une formulation rigoureuse et une visualisation graphique. Elle se prolonge par une définition des limites finies et infinies d’une fonction en l’infini, avec les exemples des fonctions de référence. L’interprétation graphique conduit à définir la notion d’asymptote horizontale à une courbe représentative de fonction, puis d’asymptote verticale pour la limite infinie en un nombre.
La détermination de la limite d’une suite ou d’une fonction dans des cas simples conduit à revenir sur les limites usuelles et à préciser les propriétés des opérations sur les limites. Les formes indéterminées sont levées en utilisant les croissances comparées, les encadrements ou la factorisation par le terme prépondérant dans une somme.
En fin de séance, trois exercices permettent de réinvestir les notions du cours, avec l’étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition d’une fonction et l’étude de la convergence d’une suite.
Limite infinie d’une suite
► Définitions
La suite (un) tend vers +∞ si tout intervalle de la forme [A;+∞[ contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.
On dit que (un) diverge vers +∞ et on note lim(n→+∞) un = +∞.
La suite
On dit que
Limite finie d’une suite
► Définition
La suite
On note lim(n→+∞) un = ℓ.
Limite infinie à l’infini des fonctions
► Définition
On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ et on note lim(x→+∞) f(x)= +∞, lorsque tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
Limite finie à l’infini des fonctions et interprétation graphique
► Définition
On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞ et on note lim(x→+∞) f(x) = ℓ, lorsque tout intervalle ouvert contenant
► Définition : asymptotes parallèles à l’axe des abscisses
Lorsque lim(x→+∞) f(x) = ℓ ou lim(x→-∞) f(x)= ℓ, la droite d’équation y=ℓ est dite asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction f.
Limite infinie en un nombre des fonctions et interprétation graphique
► Définitions
On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a et on note lim(x→a) f(x) = +∞, lorsque tout intervalle de la forme ]A:+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de a.
Lorsque f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a avec x < a, on parle de limite à gauche que l’on note lim(x→a x<a) f(x) = +∞.
Lorsque f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a avec x > a, on parle de limite à gauche que l’on note lim(x→a x>a) f(x) = +∞.
Comment déterminer la limite d’une suite ou d’une fonction dans des cas simples ?
la limite d’une somme de suites ou de fonctions
lim(x→a) u(x) | lim(x→a) v(x) | lim(x→a) u(x) + v(x) |
---|---|---|
+∞ | +∞ | +∞ |
ℓ | ℓ' | ℓ + ℓ' |
-∞ | -∞ | -∞ |
ℓ | -∞ | -∞ |
ℓ | +∞ | +∞ |
+∞ | -∞ | indéterminée |
la limite d’un produit de suites ou de fonctions
lim(x→a) u(x) | lim(x→a) v(x) | lim(x→a) u(x) x v(x) |
---|---|---|
ℓ | ℓ' | ℓ x ℓ' |
ℓ ≠ 0 | ∞ | ∞ (règle des signes) |
∞ | ∞ | ∞ (règle des signes) |
0 | ∞ | indéterminée |
la limite d’un quotient de suites ou de fonctions
lim(x→a) u(x) | lim(x→a) v(x) | lim(x→a) u(x)/v(x) |
---|---|---|
ℓ | ℓ' ≠ 0 | ℓ/ℓ' |
ℓ | ∞ | 0 |
ℓ | 0 | ∞ (règle des signes) |
∞ | ℓ' ≠ 0 | ∞ (règle des signes) |
0 | 0 | indéterminée |
∞ | ∞ | indéterminée |
Croissances comparées
► Propriétés : Pour tout entier naturel n non nul,
lim(x→+∞) ex/xn = +∞
lim(x→-∞) xnex = 0
lim(x→+∞) ln(x)/xn = +∞
lim(x→0 x>0) xnln(x) = 0
► Autres limites associées : Pour tout entier naturel n non nul,
lim(x→-∞) ex/xn = 0
lim(x→+∞) xnex = +∞
lim(x→0 x>0) ln(x)/xn = -∞
lim(x→+∞) xnln(x) = +∞
Encadrement
► Théorème
Si pour tout entier n ≥ n0
Si pour tout réel x ∈ I, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et lim(x→+∞) g(x) = lim(x→+∞) h(x) = ℓ, alors lim(x→+∞) f(x) = ℓ.
Réalisateur : Didier Fraisse
Producteur : France tv studio
Année de copyright : 2020
Année de production : 2020
Année de diffusion : 2020
Publié le 21/12/20
Modifié le 13/06/23
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