Une suite arithmétique est une suite pour laquelle on obtient le terme n+1 en ajoutant r au terme n. On peut ainsi écrire Un + 1 = Un + r.
Une suite géométrique est une suite pour laquelle on obtient le terme n+1 en multipliant par q le terme n. On peut ainsi écrire Un + 1 = Un x q.
Cette suite est une suite arithmétique de raison 4. En effet, on ajoute toujours 4 au terme n pour aboutir à n+1. Ainsi, il suffit de prendre le dernier terme, 17, et de lui ajouter la raison, 4, pour obtenir la terme n+1, c'est à dire 21.
Ici, on a affaire à une suite dite géométrique. Pour obtenir le terme n, on multiplie toujours le terme n-1 par la raison q. Ici, la raison est 2, cela signifie qu'on double la valeur à chaque terme. Ainsi, on prend le dernier terme, 56, que l'on multiplie par la raison 2, ce qui donne bien 112.
Pour passer de U1 à U10 on a besoin de 9 termes. Ici, on a une suite arithmétique de raison 5, c'est à dire qu'on additionne 5 pour passer d'un terme n au terme n+1. On va donc devoir ajouter 9 x 5 = 45 à U1 pour aboutir à U10, soit 20 + 45 = 65.
Pour passer de U1 à U5 on a besoin de 4 termes. Ici, on a une suite géométrique de raison 0,5, ce qui revient à diviser par 2 pour passer d'un terme n au terme n+1. On a donc :
- U1 = 1000
- U2 = 500
- U3 = 250
- U4 = 125
- U5 = 62,5
Pour une suite géomètrique de raison q on pourra écrire Un = U0 x qn avec U0 le premier terme. Ici on a donc bien une suite géométrique avec U0 = 10 et q = 2.
Pour vérifier si une suite est géométrique on peut comparer le rapport de deux couples de termes qui se suivent. Ici, on a par exemple U1/U0 = 10 et U2/U1 = 2. Ces deux rapports n'étant pas égaux, on peut dire que la suite n'est pas géométrique.
En effet la somme des termes d'une telle suite est égale à la moyenne du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. On peut écrire cela sous la forme S = n x ((U1 + Un) / 2).
En effet, pour déterminer la somme des termes d'une suite géomètrique il suffit d'appliquer cette formule : S = a(1 - qn) / (1 - q), avec a le premier terme, q la raison, et n le nombre de termes de la suite.
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Les suites numériques
Les suites arithmétiques ou géométriques sont des suites très simples à étudier car elles se basent sur une « raison » que l'on ajoute ou multiplie au terme précédent et que l'on peut continuer à l'infini. Par exemple, la suite de Fibonacci est une suite où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Testez vos connaissances sur ces suites et les outils permettant de les étudier !