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Maths29:06Publié le 09/06/2020

Les limites de suites

Les cours Lumni - Lycée

Dans ce cours, la professeure de maths Sophie propose d'étudier le comportement asymptotique des suites numériques.

Retrouvez le en PDF et son cours sur le ..

Limite infinie     

► lim un = +∞

La suite (un) tend vers +∞ si pour tout nombre réel positif A, il existe un entier N tel que pour tout entier n ≥ N, un ≥ A.

Limite des suites usuelles    

  • un = n
  • un = n2
  • un = n3
  • un = √n
  • un = nk avec k ∈ N*
  • un = qn avec q > 1

► lim un = -∞

La suite (un) tend vers -∞ si pour tout nombre réel négatif B, il existe un entier N tel que pour tout entier n ≥ N, un ≤ B.

Limite finie 

► lim un = l  

La suite (un) tend vers le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

► lim u= 0

Limite des suites usuelles 

  • un = 1 / n
  • un = 1 / n2
  • un = 1 / √n
  • un = 1 / nk avec k ∈ N* 
  • un = qn avec -1 < q < 1

Opérations sur les limites

Somme

Si (un) a pour limite

l

l

l

+ ∞

- ∞

+ ∞

Et si (vn) a pour limite

l′

+ ∞

- ∞

+∞

- ∞

- ∞

Alors (un + vn ) a pour limite

l + l′

+∞

- ∞

+ ∞

- ∞

  ?

 

 

Produit

Si (un) a pour limite

l

l ≠ 0

0

± ∞

Et si (vn) a pour limite

l′

± ∞

± ∞

±∞

Alors (un x vn ) a pour limite

l × l′

± ∞

?

± ∞

 

 

Quotient

Si (un) a pour limite

l

l

± ∞

± ∞

l ou ±∞0

Et si (vn) a pour limite

l′ ≠ 0

± ∞

l′ ≠ 0

±∞

0 et de signe constant0

Alors (un / vn ) a pour limite

l / l′

0

±∞

?

±∞?

 

Comportement d’une suite à l’infini

Les suites géométriques

  • si q > 1, la suite diverge vers ++∞ ou  -∞ selon le signe de u0.
  • si q = 1, la suite est constante. Elle converge vers u0.
  • si -1 < q < 1, la suite converge vers 0.
  • si q ≤ -1, la suite diverge.

Les suites monotones

Si  une suite est croissante et n’est pas majorée, alors elle a pour limite +∞.

Si  une suite est décroissante et n’est pas minorée, alors elle a pour limite -∞.

Si une suite  est croissante et majorée, alors elle est convergente.

Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.

Réalisateur : Didier Fraisse

Producteur : france tv studio

Année de copyright : 2020

Année de production : 2020

Année de diffusion : 2020

Publié le 09/06/20

Modifié le 03/11/23

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