Equations différentielles - exercices

Exerce-toi sur les équations différentielles.


Publié le 02/11/2023 • Modifié le 03/01/2024

Temps de lecture : Moins de 1min.

Écrit par Joséphine Aubin

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Exercice 1

Considérons l’équation différentielle (E) :
{ f′(x) = 0,01f2(x) + 3√x, x ∈ ℝ
{ f(0) = 2

  1. Utiliser la méthode d’Euler avec un pas h = 0,1 pour calculer les valeurs approchées de f(0,1), f(0,2) et f(0,3).
  2. Ecrire une fonction Python qui prend en argument les conditions initiales de (E) et qui renvoie la liste de 10 réels espacés de 0,1 à partir de 0, la liste des images approchées par la méthode d’Euler de ces réels par f et qui trace la courbe approchée de f.

Exercice 2

Soient (E) : f′′(x) - 3f′(x) + 2f(x) = -ex, x ∈ ℝ et (H) : f′′(x) - 3f′(x) + 2f(x) = 0, x ∈ ℝ.

  1. Montrer que pour tout (k,m) ∈ ℝ2, g : 
    { ℝ → ℝ
    { x → ke + me2x
    est solution de (H).
  2. Montrer que j :
    { ℝ → ℝ
    { x → xex
    est solution de (E).
  3. Montrer que g + j est solution de (E).

Exercice 3

Soit (E) : 3f(x) - 4xf′(x) = -15x2 + 3, x ∈ ℝ.
Déterminer (a,b,c) ∈ ℝ3 pour que g :
{ ℝ → ℝ
{ x → ax2 + bx + c
soit solution de (E).

 


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