Grâce aux identités remarquables, on peut écrire une expression sous forme de somme ou sous forme de produit. Pour passer de l'une à l'autre, on factorise ou on distribue.
Une identité remarquable a pour propriété de pouvoir être sous forme factorisée ou sous forme développée tout en conservant la même valeur. Or pour résoudre une équation, la forme factorisée est plus adaptée.
En mathématiques, la distributivité s'applique dans les calculs qui contiennent des facteurs communs. Dans les calculs de base appelés « identités remarquables », elle est utilisée pour développer des produits.
Dans une identité remarquable, le carré, c'est-à-dire le produit d'un nombre par lui-même, s'applique sur chacun des facteurs de la somme, mais pas sur la somme des deux. Ainsi, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.
Les trois identités remarquables sont :
- carré d'une somme → (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- carré d'une différence → (a - b)2 = a2 - 2ab2 + b2
- produit de la somme par la différence → (a + b) x (a - b) = a2 - b2
Dans l'identité remarquable (a + b)2, on aura a2 + b2 + 2 x a x b . Ce dernier élément, que l'on peut aussi écrire 2ab, s'appelle le double produit, car on multiplie les deux facteurs non pas au carré mais par 2.
Dans le développement d'un produit au carré, soit la multiplication d'une somme par elle-même, il y a trois termes : l'un est le carré de x, l'autre le carré d'un nombre, et il faut ajouter le double produit. Il y a donc trois parties dans le développement. Ici : 9x2 + 12x + 4 = (3x+2)2
Pour factoriser l'expression 4x2 + 4x + 1, on cherche ce qui donne 4x2, cela ne peut qu'être 2x. On cherche ensuite quel nombre mis au carré peut donner 1 et cela ne peut être que 1. Il nous reste à vérifier le double produit : 2 x 2x x 1, soit 4x.
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Calcul littéral : les identités remarquables
A connaître par cœur, les identités remarquables permettent de faire du calcul littéral plus vite. Ces égalités particulières sont en effet très utiles pour développer ou factoriser des expressions littérales rapidement. Maîtrises-tu le sujet ?