Factoriser avec les égalités remarquables

Dans cette vidéo, tu vas apprendre comment factoriser grâce aux égalités remarquables, lorsque la factorisation n'est pas possible avec un facteur commun.

Quelles sont les égalités remarquables ?

Elles sont trois et tu dois les connaître par cœur :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab +b²

(a + b) (a - b) = a² - b²

Tu as sans doute l'habitude de les utiliser de gauche à droite (dans le sens de développement). Dans le cas présent, tu vas les utiliser de droite à gauche (dans le sens de factorisation). Tu vas donc devoir reconnaitre l'expression de droite pour choisir la bonne égalité remarquable à appliquer.

Comment factoriser avec les égalités remarquables ?

Prenons un exmple :

x² + 2x + 1

Tu remarques qu'il y a 3 termes et pas de signe -. En procédant par élimination, la seule égalité correspondante est (a + b)² = a² + 2ab + b². Ici x² = a², donc x = a. De même, b² = 1.

Tu peux donc factoriser en écrivant :

x² + 2x + 1 = (x + 1)²

Autre exemple : 

36 - y²

Sans aucun doute possible, l'égalité correspondante est (a + b) (a - b) = a² - b². 36 est le carré de 6, donc a = 6 et b = y.

Tu peux donc écrire  : 

6² - y²

Ce qui, une fois factorisé, donne :

36 - y² = (6 + y) (6 - y)

Troisième exemple :

x² - 15

Tu reconnais l'égalité remarquable (a + b) (a - b) = a² - b². Mais tu peux te dire que 15 n'est le carré de rien. Détrompe-toi, 15 est le carré de sa racine carrée soit √15. 

Tu peux donc écrire l'expression sous la forme x² - √15². Tu peux alors factoriser :

 x² - 15 = (x + √15) (x - √15)

Quatrième exemple :

Tu reconnais l'expression de la seconde égalité remarquable (a - b)² = a² - 2ab + b². Ici a = x et 25 est le carré de 5.

Tu peux donc factoriser en :

x² - 10x + 25 = (x - 5)²

Dernier exemple :

49 + 28x + 4x²

L'égalité remarquable correspondante est (a + b)² = a² + 2ab + b². 49 est le carré de 7 et 4x² est le carré de 2x². Donc a = 7 et b = 2x.

Tu peux donc factoriser en  :

49 + 28x + 4x² = (7 + 2x)²