Linéarité de l'espérance - exercice

Propriétés :

Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs x_i, de probabilités p_i et Y, les valeurs y_i, de probabilités q_i pour i variant de 1 à n,

Soit a ∈ ℝ,

On a :

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

E(aX) = aE(X)

On dit que l'espérance est linéaire. 

Démonstration :

Soit a ∈ ℝ,

Par définition de l'espérance mathématique,

E(X)  = sum_ni=1p_ix_i.

Donc

E(aX)  = sum_ni=1pi(ax_i)

E(aX) = asum_ni=1p_ix_i

E(aX) = a E(X)