Transfert thermique : refroidissement d'un gâteau à l'air libre - exercice

En sortant du four, combien de temps met un gâteau pour refroidir et atteindre la température ambiante ? Cette question toute simple, fait appel à des notions en thermodynamique, en transfert thermique, et en bilan énergétique. Cette nouvelle vidéo des Bons Profs te donne la recette pour obtenir la résolution de cet exercice.

enoncé de l'exercice de transfert thermique

Considérons un gâteau qui, tout juste sorti du four à une température uniforme de T_i = 180° C. On suppose que la température du gâteau est homogène à tout instant. La température de l'air extérieur vaut T_ext  = 20° C. La capacité thermique massique du gâteau est assimilée à celle de l'eau (c_eau = 4185 J.kg ^-1 · K ^-1) et on suppose que le gâteau a un rayon de R = 15 cm et une hauteur de h = 5 cm.

Questions sur le refroidissement du gâteau à l'air libre

1. Déterminer littéralement le volume V et la surface S du gâteau.
2. Déterminer littéralement la capacité thermique C du gâteau.
3. L'énergie thermique contenue dans le gâteau est dissipée par un flux conducto-convectif (orienté du gâteau vers l'extérieur) d'expression : Φ  = hS (T _gâteau - T _ext)  avech = 10 W· m ^-2· K ^-1  le coefficient conducto-convectif et S la surface de contact avec l'air extérieur. Par application du premier principe durant une durée infinitésimale dt, en déduire une équation différentielle du premier ordre sur la variable T(t), température du gâteau au cours du temps.
4. Exprimer l'équation différentielle précédente sous la forme de :   
5.  Déterminer la solution de cette équation différentielle.
6. Faire l'application numérique pour 𝜏.
7. Au bout de quelle durée peut-on estimer que la température du gâteau a atteint sa température finale ?

► Continue la notion de thermodynamique avec l'évolution de la température d'un système.