La raisonnement par récurence permet de vérifier une propriété arithmétique. On peut par exemple montrer par récurrence qu'une certaine suite est toujours multiple de 10.
En effet, on peut définir une suite par récurrence, en écrivant par exemple U(n) = 10n + 10.
Les deux étapes du raisonnement par récurrence sont l'initialisation puis l'hérédité. Lors de l'initialisation on vérifie que la propriété qu'on cherche à démontrer est vraie pour une valeur choisie au hasard, souvent n = 0 ou 1.
En effet, l'étape d'hérédité porte bien son nom : on vérifie si la propriété se transmet à la « génération » suivante, c'est à dire en termes mathématiques au rang n+1.
Si on trace la courbe représentant la suite en question, on voit qu'elle est croissante mais limitée à une certaine « hauteur » . En mathématiques, on dira alors qu'elle est majorée et converge donc vers cette valeur.
Une suite qui ne peut décroître que jusqu'à une certaine « hauteur » est minorée. Pour une suite croissante, le premier terme est toujours celui qui a la plus petite valeur, la suite est donc forcément minorée. On appelle ce premier terme, le « minorant ».
Quand une suite tend vers + ou -∞, on dit qu'elle diverge vers l'infini. En effet, une suite peut n'avoir aucune limite, par exemple Un = 2n, il y aura toujours un terme de la suite qui dépassera n'importe quel réel choisi.
En effet, si l'initialisation n'a pas été vérifiée auparavant, on ne peut pas dire avec certitude que la propriété est vérifiée pour tout n.
Une suite, qu'elle soit croissante ou divergente, tant qu'elle le reste sur tout son intervalle de définition (monotonie), est bornée si elle converge, car elle possède à la fois un minorant et un majorant.
Si une suite monotone n'est pas bornée, alors elle diverge vers l'infini. Ici, la suite est croissante, elle diverge donc vers +∞.
10
Félicitations pour le score parfait !Encore un petit effort !
Retente ta chance, tu peux faire mieux.
Pour suivre tes progrès, crée ton compte Lumni, c’est gratuit !
Je crée mon compteJoue à ce quiz et gagne facilement jusqu'à 80 Lumniz en te connectant !
Il n’y a pas de Lumniz à gagner car tu as déjà vu ce contenu. Ne t’inquiète pas, il y a plein d’autres vidéos, jeux, quiz ou articles intéressants à explorer et toujours plus de Lumniz à remporter.
Le raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence est souvent illustré par le jeu de dominos : si le premier tombe, le suivant aussi, et ainsi de suite. Avec ce quiz, révisez les propriétés de base du raisonnement par récurrence et ses applications dans l'étude de suites.