Caractérisations des nombres complexes

Dans cette vidéo, tu vas apprendre à caractériser les nombres complexes. Et essentiellement dans 2 cas : quand un nombre complexe est un réel et quand il va être un imaginaire pur.

Rappel sur les réels et imaginaires purs

Soit z = a + ib un nombre complexe quelconque.

On dit que z est réel lorsque b  = 0 et que z est imaginaire pur lorsque a = 0.

Exemple :

• 2i est imaginaire pur,
• 3 est réel
• 3 + 2i n’est ni réel, ni imaginaire pur.

Caractérisation avec les parties réelles et imaginaires

On constate simplement que si z est un nombre complexe non nul, z ∈ R ⇔ Im(z) = 0.

Autrement dit, z est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

De même, z est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : z ∈ iR ⇔ Re(z) = 0.

Caractérisation avec l’argument

Soit z un nombre complexe non nul.

•  z est réel si et seulement si arg(z) = kπ avec k ∈ Z.
•  z est imaginaire pur si et seulement si arg(z) = π/2 + kπ avec k ∈ Z.

Illustration graphique

L’affixe du point M est un réel négatif, tandis que l’affixe du point N est imaginaire pur.

le point A a un affixe réel égal à 1.