Factorisation de a^n − b^n par (a − b)

Dans cette vidéo on s'intéresse à la généralisation d'une identité remarquable. C'est-à-dire à la factorisation de l'expression aⁿ - bⁿ.

La formule

a et b étant 2 nombres complexes quelconques, et n étant un entier non nul : (a,b) ∈ C²  et n ∈ N^∗

alors on peut mettre : aⁿ − bⁿ = (a − b) ∑ⁿ_k=1   a^n−k b^k−1

Comment fonctionne cette formule sur 2 cas :

• pour n = 2 :

  (a − b) ∑²_k=1 a^2−k b^k−1 = (a − b)(a + b) = a² − b²

• pour n = 3 :

  (a − b) ∑³_k=1 a^3−k  b^k−1 = (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

La démonstration

(a − b) ∑ⁿ_k=1 a^n−kb^k−1 = ∑ⁿ_k=1 a^n−k+1b^k−1 – ∑ⁿ_k=1 a^n−kb^k

(a − b) ∑ⁿ_k=1 a^n−kb^k−1 = ∑ⁿ_j=0 a^n−jb^j– ∑ⁿ_k=1 a^n−kb^k−1 (on a réindexé la première somme, avec j = k-1)

(a − b) ∑ⁿ_k=1 a^n−kb^k−1 = aⁿ⁻⁰b⁰+ ∑^n-1_j=1 a^n−jb^j – ∑^n-1_k=1a^n−kb^k – aⁿ⁻ⁿbⁿ

(a − b) ∑ⁿ_k=1 a^n−kb^k−1 = aⁿ − bⁿ  QED