Définition de l'intégrale

Le chapitre des intégrales tombe tout le temps au bac et quelle que soit ta filière. Pas de surprise mais une obligation : il te faut bien le connaître !

Définition d'une intégrale 

Soit (O,i^→,j^→) un repère orthonormé et une fonction f continue et positive sur un intervalle [a,b].

D est le domaine du plan délimité par x = a, x= b, l’axe des abscisses et C_f, la courbe représentative de la fonction f.

L’intégrale de f sur [a,b] notée ∫_a^bf (t)dt est l’aire A du domaine D exprimée en unités d’aire.

Exemple : 

Calculer I = ∫⁴₁  xdx = ∫⁴₁tdt (x et t sont des variables muettes). 

Etape 1 : On repère l’aire recherchée.

Etape 2 : On remarque qu’il s’agit d’un trapèze rectangle.

Etape 3 : La formule du calcul d’aire du trapèze rectangle est connue. On peut l’utiliser pour calculer l’intégrale :

A = (B + b) × h / 2

A = 5 × 3 / 2

Finalement : I = 15 / 2 (exprimée en unité d’aire)

Cas d’une fonction non positive

Le signe d’une aire est toujours positif en revanche celui d’une intégrale va dépendre de la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Ainsi, on pourrait avoir I :

I =∫_a^b f(t)dt = −A₁ + A₂ − A₃ + A₄

Les A_i sont les aires respectives des quatre domaines representés sur le graphique.

Exemple

Voici comment représenter: ∫₀^1,5 (x² − 1)dx

I = ∫₀^1,5( x² − 1)dx = −A₁+A₂