Primitives et équations différentielles

Stéphane, professeur de mathématiques, propose un cours consacré aux primitives des fonctions.

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Introduction historique

La séance présente d’abord deux problèmes qui, parmi d’autres, ont donné naissance à la théorie des équations différentielles. Le problème de Florimond de Beaune, tout d’abord, où l’on doit trouver une courbe qui vérifie une condition sur sa tangente. Leibniz l’a résolu et a proposé un autre problème, celui de l’isochrone, que Jacob Bernoulli a résolu. Chaque mathématicien aboutit à une égalité que doivent vérifier une fonction et sa dérivée.

Avant de donner une définition pour comprendre ce qu’est une équation différentielle, trois questions flash posent de manières différentes la recherche d’une fonction dérivable dont on connaît la dérivée.

La définition est illustrée de trois exemples d’équations différentielles, la première ayant été résolue comme question flash, la deuxième correspondant à la leçon du jour et la troisième à une équation différentielle utilisée en physique, dont l’étude n’est pas faite dans le cours de mathématiques, mais qui permet de vérifier que des fonctions données sont ou ne sont pas solutions de cette équation différentielle.

L’étude de l’équation différentielle y' = f conduit à la définition de la primitive d’une fonction, puis à déterminer les primitives des fonctions de référence. Ce tableau et le rappel de la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables permettent de déterminer les primitives de fonctions ayant une forme remarquable.

L’allure des courbes des solutions de l’équation différentielle y' = ay illustre l’unicité de la solution à partir de conditions initiales données. L’équation différentielle y' = ay + b se résout alors en déterminant une solution particulière constante, puis utilise cette solution pour déterminer toutes les solutions.

L’équation différentielle y' = ay + f est ensuite résolue à partir de la donnée d’une solution particulière.

Trois exercices d’application directe du cours sont proposés en fin de séance pour réinvestir le calcul de primitives, la vérification d’une solution d’une équation différentielle et la résolution des équations différentielles étudiées dans la séance.

Équations différentielles

► Définition

Une équation différentielle est une égalité liant une fonction dérivable y à sa fonction dérivée y′ (voire à ses fonctions dérivées y′′, y′′′…) et éventuellement d’autres fonctions.

Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les fonctions dérivables vérifiant l’égalité.

Équation différentielle y' = f

► Définition

Soit f une fonction continue, définie sur un intervalle I

Une fonction F est une primitive de f sur I, lorsque pour tout réel x ∈ I, F′(x) = f(x).

► Remarque

Une primitive de f sur I est solution de l’équation différentielle y′ = f.

► Propriété

Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Primitives des fonctions de référence

► Propriété

Soit u définie et dérivable sur I et telle que, pour tout réel x ∈ I, u(x) ∈ J

Soit v définie et dérivable sur J

Alors f = v∘ u est définie et dérivable sur I et, pour tout réel x ∈ I, f′(x) = [v′(u(x))] x u′(x)

Primitives de fonctions ayant des formes remarquables

Équation différentielle y' = ay 

► Propriété

Les solutions de l’équation différentielle y′ = ay, où a est un nombre réel sont les fonctions définies sur ℝ par y(x) = Keax , avec K réel.

Pour un couple (x₀;y₀) de réels donnés, il existe une unique fonction solution vérifiant f(x₀) = y₀.

Équation différentielle y' = ay  + b

► Propriété

Soit l’équation différentielle (E) : y′ = ay + b , où a et b sont des nombre réels.

Soit g une solution particulière de (E).

f est solution de (E) si et seulement si f - g est solution de l’équation différentielle y′ = ay.

Equation différentielle y' = ay + f

► Propriété

Soit l’équation différentielle (E) : y′ = ay + f , où a est un nombre réel et f une fonction définie et continue sur ℝ.

Soit g une solution particulière de (E).

f est solution de (E) si et seulement si f - g est solution de l’équation différentielle y′ = ay.