Si x tend vers -1, x2 tend vers 1 et -2x tend vers 2. Ainsi x2 - 2x tend vers 1 + 2, c'est à dire 3.
Si la fonction est continue sur un intervalle [a ; b] alors on peut toujours trouver au moins une solution telle que ƒ(x) = k. Cependant, il peut n'y en avoir qu'une seule, si par exemple la fonction est monotone sur l'intervalle.
En effet, une fonction ƒ est continue sur I si, et seulement si, ƒ est continue pour tout x appartenant à I. Cela signifie que quelle que soit la valeur de x choisie sur l'intervalle I, on trouvera toujours une valeur de ƒ(x).
Si la fonction est strictement monotone (donc toujours croissante OU toujours décroissante) sur l'intervalle, cela signifie qu'elle ne « passe » qu'une seule fois par chacune des valeurs. Ainsi, on n'aura qu'une seule solution à ƒ(x) = k.
On sait que la fonction est continue sur [-10 ; 10]. Or, on sait que ƒ(-10) < 2 et ƒ(10) > 2. Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, ƒ(x) = 2 possède au moins une solution.
Quand on trace la courbe réprésentative d'une fonction continue on ne peut pas lever le stylo, car cela siginifierait qu'il n'y a pas de solution à l'endroit où on a levé le stylo. Ce qui n'est pas possible à cause du théorème des valeurs intermédiaires.
C'est l'application du théorème des valeurs inverses : pour passer d'un bout à l'autre de l'intervalle de définition, on doit passer par toutes les valeurs intermédiaires, et donc par toutes les ordonnées comprises entre ƒ(a) et ƒ(b).
La fonction inverse n'est pas définie pour x = 0, on ne peut donc pas dire qu'elle est continue. En revanche, la fonction inverse est continue sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
En effet, un algorithme de dichotomie permet de rechercher le zéro d'une fonction en répétant le partage d'un intervalle en deux parties, puis à sélectionner le sous-intervalle dans lequel il existe un zéro de la fonction. Et ainsi de suite jusqu'à approcher d'une solution.
C'est effectivement une autre méthode permettant d'approcher la solution de ƒ(x) = 0. On balaye [a ; b] avec un pas de 1, puis on s'intéresse à l'intervalle où deux valeurs consécutives sont de signe opposé (encadrant donc 0). On balaye alors cet intervalle avec un pas plus petit...
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La continuité des fonctions d'une variable réelle
En mathématiques, certaines fonctions peuvent être très complexes à étudier. Dans ces situations, on pourra essayer d'approcher une solution sans être totalement capable de la déterminer de manière algébrique. Ainsi, des outils tels que le théorème des valeurs intermédiaires ou l'algorithme de dichotomie nous permettront de trouver des solutions à des problèmes impossibles à résoudre autrement.