Etude de la fonction cosinus

L'étude de la fonction cosinus est au cœur du chapitre sur les fonctions trigonométriques. Dans cette vidéo tu revois l'une des 2 propriétés les plus importantes : la dérivée de la fonction cosinus.

Domaine de définition et dérivée

La fonction cosinus est définie sur R.

Elle est, en outre, 2π-périodique (ce qui signifie que pour tout x∈R, cos(x+2π)=cos(x))

et paire (pour tout x∈R, cos(−x) = cos(x)) ce qui permet de restreindre son étude à [0,π].

Son domaine de dérivabilité est R et pour tout x∈R, cos′(x)=−sin(x).

Variations sur [0,π][0,π]

Pour étudier les variations de la fonction cosinus, on étudie le signe de sa dérivée c’est-à-dire le signe de −sin(x) sur [0,π].

Représentation graphique

Courbe représentative de la fonction cosinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction :

Propriétés algébriques et autres formules

Pour tout x∈R, cos²(x)+sin²(x) = 1.

Pour tout x∈R, cos(2x) = 2cos²(x)−1.

Pour tous a,b réels, cos(a+b) = cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b).

Formule d’Euler : cos(θ )= e^iθ+e−^iθ / 2), où e^iθ est le nombre complexe de module 1 et d’argument θ : e^iθ = cos(θ) + i sin(θ).

cos(−x) = cos(x)

cos(x+π) = −cos(x)

cos(π/2−x) = sin(x)